Combinatorial Formula for Modified Hall-Littlewood Polynomials

We obtain new combinatorial formulae for modified Hall–Littlewood polynomials, for matrix elements of the transition matrix between the elementary symmetric polynomials and Hall-Littlewood’s ones, and for the number of rational points over the finite field of unipotent partial flag variety. The definitions and examples of generalized mahonian statistic on the set of transport matrices and dual mahonian statistic on the set of transport (0,1)–matrices are given. We also review known q–analogues of Littlewood–Richardson numbers and consider their possible generalizations. Some conjectures about multinomial fermionic formulae for homogeneous unrestricted one dimensional sums and generalized Kostka–Foulkes polynomials are formulated. Finally we suggest two parameter deformations of polynomials Pλμ(t) and one dimensional sums. Dedicated to Richard Askey on the occasion of his 65th birthday Résumé Nous obtenons des nouvelles formules combinatoires concernant les polynômes de Hall-Littlewood modifiés, la matrice de transition entre les functions symétriques élémentaires et celles de Hall-Littlewood, et le nombre de points rationnels sur la sous-variété de points fixes d’un élément unipotent d’une variété de drapeau sur un corps fini. On définie la notion de statistique mahonienne généralisee sur l’ensemble des matrices de transport, ainsi que son duale, et on en fournit des exemples. Ces definitions généralisent naturellement la définition de statistique mahonienne introduite par D. Foata.